[백준] 11444 - 피보나치 수 6

[Gold II] 피보나치 수 6 - 11444

문제 링크

성능 요약

메모리: 12888 KB, 시간: 108 ms

분류

분할 정복을 이용한 거듭제곱(exponentiation_by_squaring), 수학(math)

문제 설명

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

---

앞서 풀었던 행렬 제곱과 분할 정복을 활용하는 문제다.

행렬 제곱

$$ \left[
\begin{matrix}
F_{n} & F_{n-1} \
F_{n-1} & F_{n-2}
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
F_{n-1} & F_{n-2} \
F_{n-2} & F_{n-3}
\end{matrix}
\right] ^{2} $$

이 수식은 다음 그림을 통해 이해할 수 있다.

위 사진의 행렬 제곱에서 위에 위치한 행렬은 4번째 피보나치 수에 대한 행렬이다.

fib(1)=fib(2)=1, fib(4) = 3이다.

이를 fib(1) 행렬과 제곱을 하면 해당 수에서 [0,0]값이 다음 피보나치 수가 된다.

이는 행렬을 제곱하면 0,0의 경우 fib(n-1)*1 + fib(n-2)*1 이 되기 때문이다.

반복해서 행렬을 그려나가다 보면 이해할 수 있을 것이다.

여기에 분할 정복을 활용하면 행렬 제곱을 빠르게 구할 수 있다.

package Gold.g2;

import java.util.Scanner;

public class BOJ_11444_피보나치수6 {
    static long[][] fibs = new long[][] { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
    final static long MOD = 1000000007;

    public static void main(String[] args) {
        /*
         * 행렬 제곱 이용 Fn = ((1,1),(1,0))의 n 제곱) 분할 정복 이용
         */
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long N = sc.nextLong();
        long[][] result = fib(N);
        System.out.println(result[0][1]);

    }

    static long[][] mulMatrix(long[][] a, long[][] b) {
        long[][] tmp = new long[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++)
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                for (int d = 0; d < 2; d++)
                    tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][d] * b[d][j]) % MOD;
            }
        return tmp;
    }

    static long[][] fib(long n) {
        if (n == 1) {
            return fibs;
        }

        long[][] tmp = fib(n / 2);
        if (n % 2 == 0)
            return mulMatrix(tmp, tmp);
        else
            return mulMatrix(mulMatrix(tmp, tmp), fibs);

    }
}